1755年，瑞士数学家欧拉把函数定义为：“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。”在欧拉的定义中，就不强调函数要用公式表示了。由于函数不一定要用公式来表示，欧拉曾把画在坐标系的曲线也叫函数。他认为：“函数是随意画出的一条曲线。”
　　1821年，法国数学家柯西给出了类似现在中学课本的函数定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。”在柯西的定义中，首先出现了自变量一词。
　　1834年，俄国数学家罗巴契夫斯基进一步提出函数的定义：“x的函数是这样的一个数，它对于每一个x都有确定的值，并且随着x一起变化。函数值可以由解析式给出，也可以由一个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法。函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的。”这个定义指出了对应关系(条件)的必要性，利用这个关系，可以来求出每一个x的对应值。
　　1837年，德国数学家狄里克雷对函数的定义是：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数。”这个定义抓住了概念的本质属性，只需有一个法则存在，使得这个函数取值范围中的每一个值，有一个确定的y值和它对应，不管这个法则是公式或图像或表格或其他形式。这个定义比前面的定义更有普遍性，为理论研究和实际应用提供了方便。