曲面地理学研究的对象是复数域上的代数曲面。一个曲面自带了一些反映其特性的数值量--称为曲面的不变量。比如曲面的典范体积和欧拉示性数就是两个重要的不变量。
    在坐标平面上,考虑任何一个点的坐标(x,y), 我们问:是否存在一个代数曲面,使得它的典范体积恰好等于x,欧拉示性数恰好等于y?
    这就是曲面地理学所要研究的问题。目前为止代数几何学家已经证明了平面上大部分区域中的点都有相应的曲面满足条件。遗憾的是,剩下的那部分空白区域仍然是个谜,至今也没人在那里发现新的曲面。